Phân số – Các phép tính với phân số

Chủ đề: Phân số – Các phép tính với phân số

A. Phần Cơ bản

I. Kiến thức cần nhớ

1. Phân số

Mỗi phân số có tử số và mẫu số. Tử số là số tự nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dưới gạch ngang.

Ví dụ: $\dfrac47;\ \dfrac15;\ \dfrac{14}{13}$ là những phân số.

2. Cách đọc, viết phân số

Viết: $\frac12$
Đọc: một phần hai

Viết: $\frac34$
Đọc: ba phần tư

Viết: $\frac74$
Đọc: bảy phần tư

3. Phân số và phép chia số tự nhiên

Thương của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên khác 0 có thể viết thành một phân số, tử số là số bị chia và mẫu số là số chia.

$3:4=\dfrac34;\qquad 9:7=\dfrac97$

4. Phân số lớn hơn 1, bằng 1, nhỏ hơn 1

Tử số lớn hơn mẫu số: phân số lớn hơn 1. Ví dụ: $\dfrac76>1;\ \dfrac{11}{7}>1$ .
Tử số bé hơn mẫu số: phân số nhỏ hơn 1. Ví dụ: $\dfrac79<1;\ \dfrac{12}{13}<1$ .
Tử số bằng mẫu số: phân số bằng 1. Ví dụ: $\dfrac88=1$ .

5. Rút gọn phân số

Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1; chia cả tử và mẫu cho số đó; tiếp tục cho đến khi nhận được phân số tối giản.

$\dfrac9{12}=\dfrac{9:3}{12:3}=\dfrac34;\qquad \dfrac{18}{27}=\dfrac{18:9}{27:9}=\dfrac23$

6. Phép cộng hai phân số

Cùng mẫu số: cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số.

$\dfrac ac+\dfrac bc=\dfrac{a+b}{c};\qquad \dfrac37+\dfrac27=\dfrac57$

Khác mẫu số: quy đồng mẫu số rồi cộng.

$\dfrac23+\dfrac45=\dfrac{10}{15}+\dfrac{12}{15}=\dfrac{22}{15}$

7. Phép trừ hai phân số

Cùng mẫu số: trừ tử số của phân số thứ nhất cho tử số của phân số thứ hai và giữ nguyên mẫu số.

$\dfrac ac-\dfrac bc=\dfrac{a-b}{c};\qquad \dfrac79-\dfrac29=\dfrac59$

Khác mẫu số: quy đồng mẫu số rồi trừ.

$\dfrac58-\dfrac13=\dfrac{15}{24}-\dfrac8{24}=\dfrac7{24}$

8. Phép nhân phân số

Muốn nhân hai phân số, ta lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu số.

$\dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{a\times c}{b\times d};\qquad \dfrac5{12}\times\dfrac3{10}=\dfrac{15}{120}=\dfrac18$

9. Phép chia phân số

Muốn chia hai phân số, ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số thứ hai đảo ngược.

$\dfrac ab:\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc;\qquad \dfrac7{15}:\dfrac23=\dfrac7{15}\times\dfrac32=\dfrac7{10}$

II. Bài tập tự luyện

Câu 1. Tính

$\dfrac{12}{17}+\dfrac3{17}$

$\dfrac5{24}+\dfrac54$

$\dfrac23+\dfrac5{24}$

$\dfrac5{18}-\dfrac16$

$2-\dfrac{13}{12}$

$\dfrac14:\dfrac72$

Câu 2. Tính

a) $\dfrac79\times\dfrac3{14}:\dfrac58$

b) $\dfrac35\times\dfrac4{21}\times\dfrac{25}3$

c) $\dfrac{15}{16}:\dfrac58\times\dfrac34$

d) $\dfrac{21}4\times\dfrac{16}{14}\times\dfrac12\times\dfrac83$

Câu 3. Tính bằng cách thuận tiện

a) $\dfrac{21}{25}\times\dfrac25+\dfrac{21}{25}\times\dfrac35$

b) $\dfrac52\times\dfrac34-\dfrac3{14}:\dfrac67$

c) $\dfrac3{10}\times\dfrac74-\dfrac3{10}\times\dfrac34$

d) $\dfrac7{12}+\dfrac69+\dfrac38+\dfrac5{12}+\dfrac13+\dfrac58$

Câu 4. Tính bằng cách thuận tiện

a) $\dfrac34-\dfrac29+\dfrac{20}9+\dfrac54-\dfrac89$

b) $\dfrac45+\dfrac27+\dfrac59+\dfrac{15}{21}+\dfrac15+\dfrac49$

c) $\dfrac47:\dfrac52+\dfrac47:\dfrac53+\dfrac37$

d) $\dfrac37\times\dfrac{24}{15}-\dfrac37\times\dfrac{14}{15}$

Câu 5. Tìm $x$

a) $x\times\dfrac37=1-\dfrac58$

b) $\dfrac83-x=\dfrac9{10}\times\dfrac53$

c) $x:\dfrac59=2-\dfrac{11}8$

d) $x\times\dfrac23+x\times\dfrac73=\dfrac{11}4$

Câu 6

Một siêu thị có 1428 kg trái cây. Ngày thứ nhất siêu thị đã bán $\dfrac37$ số trái cây, ngày thứ hai bán $\dfrac16$ số trái cây đó. Hỏi sau hai ngày, siêu thị còn lại bao nhiêu ki-lô-gam trái cây?

Câu 7

Một hình chữ nhật có chu vi là $\dfrac{16}7$ m. Biết chiều dài hơn chiều rộng $\dfrac5{14}$ m. Tìm độ dài mỗi cạnh của hình chữ nhật đó.

Câu 8

Cửa hàng nhập về một số lít dầu và bán hết trong ba ngày. Ngày thứ nhất bán được 120 lít dầu. Ngày thứ hai bán được số dầu bằng $\dfrac45$ ngày thứ nhất. Ngày thứ ba bán được số dầu bằng $\dfrac73$ ngày thứ hai. Hỏi cửa hàng bán được bao nhiêu lít dầu trong ba ngày?

Câu 9

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng là 12 m và chiều dài bằng $\dfrac{10}3$ chiều rộng. Trên thửa ruộng, bác nông dân trồng ngô. Cứ 40 m² bác ấy thu được 20 tạ khoai. Hỏi trên thửa ruộng đó thu hoạch được bao nhiêu tấn khoai?

Câu 10

Trại nuôi gà thu hoạch được 336 quả trứng và đã bán hết trong 3 lần. Lần đầu bán được $\dfrac5{12}$ số trứng, lần thứ hai bán được $\dfrac34$ số trứng còn lại. Hỏi lần thứ ba bán được bao nhiêu quả trứng?

III. Hướng dẫn giải chi tiết

Câu 1

Phương pháp: Quy đồng khi cộng, trừ hai phân số khác mẫu số. Khi chia hai phân số, nhân phân số thứ nhất với phân số thứ hai đảo ngược.

$\frac{12}{17}+\frac3{17}=\frac{12+3}{17}=\frac{15}{17}$

$\frac5{24}+\frac54=\frac5{24}+\frac{30}{24}=\frac{35}{24}$

$\frac23+\frac5{24}=\frac{16}{24}+\frac5{24}=\frac{21}{24}=\frac78$

$\frac5{18}-\frac16=\frac5{18}-\frac3{18}=\frac2{18}=\frac19$

$2-\frac{13}{12}=\frac{24}{12}-\frac{13}{12}=\frac{11}{12}$

$\frac14:\frac72=\frac14\times\frac27=\frac2{28}=\frac1{14}$

Câu 2

Phương pháp: Đổi phép chia thành phép nhân với phân số đảo ngược; rút gọn các thừa số chung trước khi nhân.

a) $\dfrac79\times\dfrac3{14}:\dfrac58=\dfrac79\times\dfrac3{14}\times\dfrac85=\dfrac4{15}$ .

b) $\dfrac35\times\dfrac4{21}\times\dfrac{25}3=\dfrac{20}{21}$ .

c) $\dfrac{15}{16}:\dfrac58\times\dfrac34=\dfrac{15}{16}\times\dfrac85\times\dfrac34=\dfrac98$ .

d) $\dfrac{21}4\times\dfrac{16}{14}\times\dfrac12\times\dfrac83=8$ .

Câu 3

Phương pháp: Áp dụng tính chất phân phối và tính chất kết hợp để tính thuận tiện.

a) $\dfrac{21}{25}\times\left(\dfrac25+\dfrac35\right)=\dfrac{21}{25}$ .

b) $\dfrac52\times\dfrac34-\dfrac3{14}\times\dfrac76=\dfrac{15}8-\dfrac14=\dfrac{13}8$ .

c) $\dfrac3{10}\times\left(\dfrac74-\dfrac34\right)=\dfrac3{10}$ .

d) $\left(\dfrac7{12}+\dfrac5{12}\right)+\left(\dfrac38+\dfrac58\right)+\left(\dfrac69+\dfrac13\right)=1+1+1=3$ .

Câu 4

Phương pháp: Nhóm các phân số thích hợp rồi áp dụng tính chất phân phối hoặc kết hợp.

a) $\left(\dfrac34+\dfrac54\right)+\left(\dfrac{20}9-\dfrac29-\dfrac89\right)=2+\dfrac{10}9=\dfrac{28}9$ .

b) $\left(\dfrac45+\dfrac15\right)+\left(\dfrac59+\dfrac49\right)+\left(\dfrac27+\dfrac{15}{21}\right)=1+1+1=3$ .

c) $\dfrac47\times\left(\dfrac25+\dfrac35\right)+\dfrac37=\dfrac47+\dfrac37=1$ .

d) $\dfrac37\times\left(\dfrac{24}{15}-\dfrac{14}{15}\right)=\dfrac37\times\dfrac{10}{15}=\dfrac27$ .

Câu 5

Phương pháp: Tính vế phải, sau đó áp dụng quy tắc tìm thành phần chưa biết.

a) $x\times\dfrac37=\dfrac38\Rightarrow x=\dfrac38:\dfrac37=\dfrac78$ .

b) $\dfrac83-x=\dfrac32\Rightarrow x=\dfrac83-\dfrac32=\dfrac76$ .

c) $x:\dfrac59=\dfrac58\Rightarrow x=\dfrac58\times\dfrac59=\dfrac{25}{72}$ .

d) $x\times\left(\dfrac23+\dfrac73\right)=\dfrac{11}4\Rightarrow 3x=\dfrac{11}4\Rightarrow x=\dfrac{11}{12}$ .

Câu 6

Phương pháp: Tính số trái cây bán từng ngày rồi lấy số ban đầu trừ tổng đã bán.

Ngày thứ nhất bán: $1428\times\dfrac37=612$ (kg).

Ngày thứ hai bán: $1428\times\dfrac16=238$ (kg).

Số trái cây còn lại: $1428-(612+238)=578$ (kg).

Đáp số: 578 kg trái cây.

Câu 7

Phương pháp: Nửa chu vi bằng chu vi chia 2; chiều rộng bằng (tổng − hiệu) chia 2; chiều dài bằng tổng trừ chiều rộng.

Nửa chu vi: $\dfrac{16}7:2=\dfrac87$ (m).

Chiều rộng: $\left(\dfrac87-\dfrac5{14}\right):2=\dfrac{11}{28}$ (m).

Chiều dài: $\dfrac87-\dfrac{11}{28}=\dfrac34$ (m).

Đáp số: rộng $\dfrac{11}{28}$ m; dài $\dfrac34$ m.

Câu 8

Phương pháp: Tính số dầu bán ngày thứ hai, ngày thứ ba rồi cộng cả ba ngày.

Ngày thứ hai bán: $120\times\dfrac45=96$ (lít).

Ngày thứ ba bán: $96\times\dfrac73=224$ (lít).

Ba ngày bán: $120+96+224=440$ (lít).

Đáp số: 440 lít dầu.

Câu 9

Phương pháp: Tính chiều dài, diện tích, số tạ khoai thu hoạch rồi đổi sang tấn.

Chiều dài: $12\times\dfrac{10}3=40$ (m).

Diện tích: $12\times40=480$ (m²).

Mỗi mét vuông thu hoạch: $20:40=\dfrac12$ (tạ).

Cả thửa ruộng thu hoạch: $\dfrac12\times480=240$ (tạ) $=24$ tấn.

Đáp số: 24 tấn khoai.

Câu 10

Phương pháp: Tính số trứng bán lần đầu, số còn lại, số bán lần hai rồi tìm số bán lần ba.

Lần đầu bán: $336\times\dfrac5{12}=140$ (quả).

Còn lại sau lần đầu: $336-140=196$ (quả).

Lần thứ hai bán: $196\times\dfrac34=147$ (quả).

Lần thứ ba bán: $336-(140+147)=49$ (quả).

Đáp số: 49 quả trứng.

B. Nâng cao

I. So sánh phân số

1. Quy đồng mẫu số

So sánh hai phân số có cùng mẫu số:

Hai phân số có cùng mẫu số thì phân số lớn hơn khi và chỉ khi tử số lớn hơn.

$\dfrac{a}{m}>\dfrac{b}{m}$ khi $a>b$ và ngược lại $(m\ne0)$ .

Nếu hai phân số không cùng mẫu số, trước hết phải quy đồng mẫu số rồi mới so sánh.

Ví dụ: So sánh hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ , với $b,d\ne0$ .

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times d}{b\times d};\qquad \dfrac{c}{d}=\dfrac{b\times c}{b\times d}$

Nếu $a\times d>b\times c$ thì $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}$ , với $b,d\ne0$ .

2. Quy đồng tử số

So sánh hai phân số có cùng tử số:

Hai phân số có cùng tử số thì phân số lớn hơn khi và chỉ khi mẫu số của nó nhỏ hơn.

$\dfrac{a}{m}>\dfrac{a}{n}$ khi $m<n$ và ngược lại $(m,n\ne0)$ .

Nếu hai phân số không cùng tử số, trước hết phải quy đồng tử số rồi mới so sánh.

3. So sánh phần hơn

Phần hơn là phần lớn hơn một mốc trung gian nào đó.

Ví dụ: So sánh hai phân số với đơn vị của mỗi phân số.

Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số đó và 1.

Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.

Nếu $\dfrac{a}{b}-1>\dfrac{c}{d}-1$ thì $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}$ , với $b,d\ne0$ .

Ví dụ 1: So sánh $\dfrac{2019}{2018}$ và $\dfrac{2020}{2019}$ .

Bước 1:

$\dfrac{2019}{2018}-1=\dfrac1{2018};\qquad \dfrac{2020}{2019}-1=\dfrac1{2019}$

Bước 2: So sánh phần hơn của đơn vị rồi kết luận:

Vì $\dfrac1{2018}>\dfrac1{2019}$ nên $\dfrac{2019}{2018}>\dfrac{2020}{2019}$ .

4. So sánh phần bù

Phần bù là phần hụt hơn một mốc trung gian nào đó.

Ví dụ: So sánh hai phân số với đơn vị của mỗi phân số.

Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.

Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại.

Nếu $1-\dfrac{a}{b}>1-\dfrac{c}{d}$ thì $\dfrac{a}{b}<\dfrac{c}{d}$ , với $b,d\ne0$ .

Ví dụ 2: So sánh $\dfrac{2018}{2019}$ và $\dfrac{2019}{2020}$ .

Bước 1: Tìm phần bù

$1-\dfrac{2018}{2019}=\dfrac1{2019};\qquad 1-\dfrac{2019}{2020}=\dfrac1{2020}$

Bước 2: So sánh phần bù rồi kết luận:

Vì $\dfrac1{2019}>\dfrac1{2020}$ nên $\dfrac{2018}{2019}<\dfrac{2019}{2020}$ .

5. Sử dụng phân số trung gian

So sánh phân số bằng cách so sánh cả hai phân số với một phân số trung gian.

Trong một số trường hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm như $\dfrac12;\ \dfrac13;\ 1;\ldots$

So sánh hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ , với $b,d\ne0$ , qua phân số trung gian $\dfrac{m}{n}$ , với $n\ne0$ .

Nếu $\dfrac{a}{b}>\dfrac{m}{n}$ và $\dfrac{m}{n}>\dfrac{c}{d}$ thì $\dfrac{a}{b}>\dfrac{c}{d}$ .

6. Bài tập

Bài 1. So sánh phân số với 1

So sánh các phân số $\dfrac34;\ \dfrac13;\ \dfrac{21}{19};\ \dfrac{2021}{2021};\ \dfrac{27}{5}$ với 1.

Bài 2. Sắp xếp phân số

Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ bé đến lớn:

a) $\dfrac49;\ \dfrac39;\ \dfrac79;\ \dfrac59$

b) $\dfrac{27}{45};\ \dfrac{18}{45};\ \dfrac{31}{45};\ \dfrac{34}{45}$

c) $\dfrac35;\ \dfrac38;\ \dfrac3{11};\ \dfrac3{13}$

d) $\dfrac{11}{15};\ \dfrac{11}{23};\ \dfrac{11}{19}$

Bài 3. So sánh các cặp phân số

So sánh các cặp phân số sau và giải thích cách làm:

a) $\dfrac56$ và $\dfrac{11}{30}$

b) $\dfrac78$ và $\dfrac{13}{16}$

c) $\dfrac23$ và $\dfrac45$

d) $\dfrac7{15}$ và $\dfrac25$

Bài 4. So sánh các cặp phân số

So sánh các cặp phân số sau và giải thích cách làm:

a) $\dfrac{15}{8}$ và $\dfrac73$

b) $\dfrac{16}{12}$ và $\dfrac{21}{28}$

c) $\dfrac67$ và $\dfrac98$

d) $\dfrac{1999}{2001}$ và $\dfrac{12}{11}$

e) $\dfrac{2020}{2019}$ và $\dfrac{2019}{2020}$

f) $\dfrac4{25}$ và $\dfrac75$

Bài 5. So sánh các cặp phân số

So sánh các cặp phân số sau và giải thích cách làm:

a) $\dfrac27$ và $\dfrac49$

b) $\dfrac57$ và $\dfrac{15}{26}$

c) $\dfrac9{13}$ và $\dfrac35$

d) $\dfrac6{11}$ và $\dfrac35$

Bài 6. So sánh các cặp phân số

So sánh các cặp phân số sau và giải thích cách làm:

a) $\dfrac{11}{14}$ và $\dfrac{13}{16}$

b) $\dfrac{2019}{2020}$ và $\dfrac{2020}{2021}$

c) $\dfrac{205}{207}$ và $\dfrac{2019}{2021}$

d) $\dfrac{99}{100}$ và $\dfrac{97}{98}$

Bài 7. So sánh các cặp phân số

So sánh các cặp phân số sau và giải thích cách làm:

a) $\dfrac{35}{42}$ và $\dfrac{32}{39}$

b) $\dfrac{19}{24}$ và $\dfrac{34}{39}$

c) $\dfrac{2002}{2010}$ và $\dfrac{2012}{2020}$

d) $\dfrac{1009}{1010}$ và $\dfrac{2019}{2021}$

Bài 8. So sánh các cặp phân số

So sánh các cặp phân số sau và giải thích cách làm:

a) $\dfrac{21}{40}$ và $\dfrac{23}{39}$

b) $\dfrac{16}{27}$ và $\dfrac{15}{29}$

c) $\dfrac{25}{18}$ và $\dfrac{26}{17}$

d) $\dfrac{40}{57}$ và $\dfrac{41}{55}$

Bài 9. So sánh các cặp phân số

So sánh các cặp phân số sau và giải thích cách làm:

a) $\dfrac{100}{99}$ và $\dfrac{101}{100}$

b) $\dfrac{215}{213}$ và $\dfrac{213}{211}$

c) $\dfrac{2022}{2021}$ và $\dfrac{2021}{2020}$

d) $\dfrac{64}{19}$ và $\dfrac{61}{18}$

e) $\dfrac{248}{27}$ và $\dfrac{104}{11}$

f) $\dfrac{133}{135}$ và $\dfrac{1313}{1515}$

Bài 10. Sắp xếp phân số

Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé:

a) $\dfrac78;\ \dfrac{11}{12};\ \dfrac89;\ \dfrac{10}{11};\ \dfrac9{10}$

b) $\dfrac45;\ \dfrac56;\ \dfrac67;\ \dfrac78$

Bài 11. Sắp xếp phân số

Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé:

a) $\dfrac79;\ \dfrac35;\ \dfrac13;\ \dfrac9{11};\ \dfrac{11}{13}$

b) $\dfrac85;\ \dfrac{11}{8};\ \dfrac{16}{13};\ \dfrac{14}{11};\ \dfrac{21}{18};\ \dfrac52$

c) $\dfrac{2017}{2018};\ \dfrac{2018}{2019};\ \dfrac{2019}{2017};\ \dfrac{2019}{2018}$

Bài 12. Viết các phân số theo điều kiện

Viết 3 phân số khác nhau có cùng mẫu số mà mỗi phân số đó:

a) Lớn hơn $\dfrac15$ .

b) Bé hơn $\dfrac14$ .

c) Lớn hơn $\dfrac15$ và bé hơn $\dfrac14$ .

Bài 13. Tìm các phân số nằm giữa hai phân số

Hãy viết:

a) 5 phân số nằm giữa hai phân số $\dfrac57$ và $\dfrac67$ .

b) 4 phân số nằm giữa hai phân số $\dfrac56$ và $\dfrac57$ .

c) Các phân số có tử số là 3 và nằm giữa hai phân số $\dfrac18$ và $\dfrac17$ .

d) Các phân số có tử số là 4 và nằm giữa hai phân số $\dfrac15$ và $\dfrac14$ .

II. Dãy phân số có quy luật

1. Mẫu số sau gấp mẫu số trước một số không đổi

Nhận xét: Mẫu số tạo thành một dãy tăng theo cấp số nhân. Mẫu số của phân số sau gấp mẫu số của phân số trước cùng một số lần.

Phương pháp: Gọi tổng cần tính là $A$ . Nếu mẫu số sau gấp mẫu số trước $k$ lần, ta nhân hai vế với $k$ , rồi cộng hoặc trừ hai biểu thức để triệt tiêu các phân số ở giữa.

$kA-A=(k-1)A$

Vì vậy, sau khi triệt tiêu phải chú ý chia cho $k-1$ để tìm $A$ .

Bài 1: Tính giá trị

$A=\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\dfrac1{32}+\dfrac1{64}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$2A=1+\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\dfrac1{32}$

Lấy $2A-A$ , các phân số ở giữa triệt tiêu:

$A=2A-A=1-\dfrac1{64}=\dfrac{63}{64}$

Kết quả: $A=\dfrac{63}{64}$ .

Bài 2: Tính giá trị

$A=\dfrac13+\dfrac19+\dfrac1{27}+\dfrac1{81}+\dfrac1{243}+\dfrac1{729}$

Hướng dẫn giải

Nhân hai vế với 3:

$3A=1+\dfrac13+\dfrac19+\dfrac1{27}+\dfrac1{81}+\dfrac1{243}$

Trừ hai vế:

$3A-A=2A=1-\dfrac1{729}=\dfrac{728}{729}$

$A=\dfrac{728}{729}:2=\dfrac{364}{729}$

Kết quả: $A=\dfrac{364}{729}$ .

Bài 3: Tính giá trị

$A=\dfrac23+\dfrac26+\dfrac2{12}+\dfrac2{24}+\cdots+\dfrac2{768}$

Hướng dẫn giải

Mẫu số sau gấp 2 lần mẫu số trước. Nhân hai vế với 2:

$2A=\dfrac43+\dfrac23+\dfrac26+\cdots+\dfrac2{384}$

Lấy $2A-A$ :

$A=\dfrac43-\dfrac2{768}=\dfrac43-\dfrac1{384}=\dfrac{511}{384}$

Kết quả: $A=\dfrac{511}{384}$ .

Bài 4: Tính giá trị

$S=\dfrac32+\dfrac54+\dfrac98+\dfrac{17}{16}+\cdots+\dfrac{1025}{1024}$

Hướng dẫn giải

Mỗi tử số lớn hơn mẫu số 1 đơn vị:

$\dfrac32=1+\dfrac12;\quad \dfrac54=1+\dfrac14;\quad \ldots;\quad \dfrac{1025}{1024}=1+\dfrac1{1024}$

Vì $1024=2^{10}$ , dãy có 10 phân số. Do đó:

$S=10+A$ , trong đó $A=\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\cdots+\dfrac1{1024}$ .

Ta có:

$2A=1+\dfrac12+\dfrac14+\cdots+\dfrac1{512}$

$A=2A-A=1-\dfrac1{1024}=\dfrac{1023}{1024}$

$S=10+\dfrac{1023}{1024}=\dfrac{11263}{1024}=10\dfrac{1023}{1024}$

Kết quả: $S=10\dfrac{1023}{1024}$ .

Bài tập tự luyện

Bài 5: Tính giá trị

$A=\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac1{16}+\dfrac1{32}+\dfrac1{64}+\dfrac1{128}+\dfrac1{256}+\dfrac1{512}+\dfrac1{1024}$

Bài 6: Tính giá trị

$A=\dfrac32+\dfrac34+\dfrac38+\cdots+\dfrac3{128}$

Bài 7: Tính giá trị

$A=\dfrac65+\dfrac6{10}+\dfrac6{20}+\dfrac6{40}+\cdots+\dfrac6{640}$

Bài 8: Tính giá trị

$A=\dfrac13+\dfrac19+\dfrac1{27}+\dfrac1{81}+\cdots+\dfrac1{2187}$

Bài 9: Tính giá trị biểu thức

$S=1+\dfrac15+\dfrac1{25}+\dfrac1{125}+\cdots+\dfrac1{15625}$

Bài 10: Tính giá trị biểu thức

$S=\dfrac12+\dfrac13+\dfrac14+\dfrac16+\dfrac18+\dfrac1{12}+\dfrac1{16}+\dfrac1{24}+\cdots+\dfrac1{256}+\dfrac1{384}$

Bài 11: Tính giá trị biểu thức

$S=\dfrac32+\dfrac94+\dfrac{25}{8}+\dfrac{65}{16}+\dfrac{161}{32}+\cdots+\dfrac{10241}{1024}$

Bài 12: Tính giá trị biểu thức

$S=\dfrac12-\dfrac14+\dfrac18-\dfrac1{16}+\cdots+\dfrac1{512}-\dfrac1{1024}$

Bài 13 (*): Tính giá trị biểu thức

$A=\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times6}+\dfrac1{6\times9}+\dfrac1{9\times18}+\dfrac1{18\times27}+\dfrac1{27\times54}$

Bài 14 (*): Tính giá trị biểu thức

$A=\dfrac1{1\times4}+\dfrac1{4\times2}+\dfrac1{2\times8}+\dfrac1{8\times4}+\dfrac1{4\times16}+\dfrac1{16\times8}$

Bài 15: Tính giá trị biểu thức

$S=\dfrac12+\dfrac34+\dfrac78+\dfrac{15}{16}+\dfrac{31}{32}+\cdots+\dfrac{1023}{1024}$

2. Dãy phân số có quy luật triệt tiêu lẫn nhau

Đây là dạng tính tổng các phân số mà mẫu số thường là tích của những thừa số có quy luật. Sau khi tách mỗi phân số thành hiệu hoặc tổng của hai phân số đơn giản, các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau.

Bước 1: Phát hiện quy luật của tử số và mẫu số. Nếu mẫu số chưa ở dạng tích, cần phân tích hoặc nhân thêm một số thích hợp.

Bước 2: So sánh tử số với hiệu hoặc tổng của hai thừa số ở mẫu:

$\dfrac{b-a}{a\times b}=\dfrac1a-\dfrac1b$

$\dfrac{b+a}{a\times b}=\dfrac1a+\dfrac1b$

Nếu phải nhân thêm một số để tạo tử số thích hợp, sau khi triệt tiêu phải chia lại cho chính số đó.

Bài 1: Tính giá trị

$A=\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\cdots+\dfrac1{99\times100}$

Hướng dẫn giải

Ta có $\dfrac1{n(n+1)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+1}$ . Vì thế:

$A=\left(1-\dfrac12\right)+\left(\dfrac12-\dfrac13\right)+\cdots+\left(\dfrac1{99}-\dfrac1{100}\right)$

$A=1-\dfrac1{100}=\dfrac{99}{100}$

Kết quả: $A=\dfrac{99}{100}$ .

Bài 2: Tính giá trị

$A=\dfrac2{1\times3}+\dfrac2{3\times5}+\dfrac2{5\times7}+\cdots+\dfrac2{99\times101}$

Hướng dẫn giải

Vì $\dfrac2{n(n+2)}=\dfrac1n-\dfrac1{n+2}$ , nên:

$A=\left(1-\dfrac13\right)+\left(\dfrac13-\dfrac15\right)+\cdots+\left(\dfrac1{99}-\dfrac1{101}\right)$

$A=1-\dfrac1{101}=\dfrac{100}{101}$

Kết quả: $A=\dfrac{100}{101}$ .

Bài 3: Tính giá trị

$A=\dfrac1{1\times4}+\dfrac1{4\times7}+\dfrac1{7\times10}+\cdots+\dfrac1{97\times100}$

Hướng dẫn giải

Hiệu hai thừa số bằng 3 nên nhân hai vế với 3:

$3A=\left(1-\dfrac14\right)+\left(\dfrac14-\dfrac17\right)+\cdots+\left(\dfrac1{97}-\dfrac1{100}\right)$

$3A=1-\dfrac1{100}=\dfrac{99}{100}$

$A=\dfrac{99}{100}:3=\dfrac{33}{100}$

Kết quả: $A=\dfrac{33}{100}$ .

Bài 4: Tính giá trị

$A=\dfrac12+\dfrac16+\dfrac1{12}+\cdots+\dfrac1{9900}$

Hướng dẫn giải

Ta có $2=1\times2$ , $6=2\times3$ , $12=3\times4$ , …, $9900=99\times100$ . Do đó:

$A=\dfrac1{1\times2}+\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\cdots+\dfrac1{99\times100}$

$A=1-\dfrac1{100}=\dfrac{99}{100}$

Kết quả: $A=\dfrac{99}{100}$ .

Bài 5: Tính giá trị

$S=\dfrac13+\dfrac16+\dfrac1{10}+\cdots+\dfrac1{4950}$

Hướng dẫn giải

Nhân mỗi mẫu số với 2: $2\times3=2\times3$ , $2\times6=3\times4$ , $2\times10=4\times5$ , …, $2\times4950=99\times100$ .

$\dfrac S2=\dfrac1{2\times3}+\dfrac1{3\times4}+\cdots+\dfrac1{99\times100}$

$\dfrac S2=\dfrac12-\dfrac1{100}=\dfrac{49}{100}$

$S=\dfrac{49}{100}:\dfrac12=\dfrac{49}{50}$

Kết quả: $S=\dfrac{49}{50}$ .

Bài 6: Tính giá trị

$A=\dfrac2{1\times3}-\dfrac4{3\times5}+\dfrac6{5\times7}-\cdots-\dfrac{20}{19\times21}$

Hướng dẫn giải

Tổng hai thừa số ở mỗi mẫu bằng 2 lần tử số. Nhân hai vế với 2:

$2A=\left(1+\dfrac13\right)-\left(\dfrac13+\dfrac15\right)+\left(\dfrac15+\dfrac17\right)-\cdots-\left(\dfrac1{19}+\dfrac1{21}\right)$

$2A=1-\dfrac1{21}=\dfrac{20}{21}$

$A=\dfrac{20}{21}:2=\dfrac{10}{21}$

Kết quả: $A=\dfrac{10}{21}$ .

Bài tập tự luyện

Bài 7: Tính giá trị

$A=\dfrac2{1\times3}+\dfrac2{3\times5}+\dfrac2{5\times7}+\cdots+\dfrac2{99\times101}$

Bài 8: Tính giá trị

$A=\dfrac2{3\times7}+\dfrac2{7\times11}+\dfrac2{11\times15}+\cdots+\dfrac2{99\times103}$

Bài 9: Tính giá trị

$A=\dfrac72+\dfrac76+\dfrac7{12}+\dfrac7{20}+\dfrac7{30}+\dfrac7{42}+\dfrac7{56}+\dfrac7{72}+\dfrac7{90}$

Bài 10: Tính giá trị

$A=\dfrac13+\dfrac16+\dfrac1{10}+\dfrac1{15}+\cdots+\dfrac1{120}$

Bài 11: Tính giá trị

$A=\dfrac5{3\times6}+\dfrac5{6\times9}+\dfrac5{9\times12}+\dfrac5{12\times15}+\cdots+\dfrac5{96\times99}$

Bài 12: Tính giá trị

$A=\dfrac{505}{10\times1212}+\dfrac{505}{12\times1414}+\dfrac{505}{14\times1616}+\cdots+\dfrac{505}{96\times9898}$

Bài 13: Tính giá trị

$A=1-\dfrac56+\dfrac7{12}-\dfrac9{20}+\dfrac{11}{30}-\dfrac{13}{42}+\dfrac{15}{56}-\dfrac{17}{72}+\dfrac{19}{90}$

Bài 14: Tính giá trị

$A=\dfrac1{15}+\dfrac2{45}+\dfrac3{135}+\dfrac4{345}+\dfrac5{759}$

Bài 15 – APMOPS 2013: Tính giá trị

$A=10\left(\dfrac1{1\times2}+\dfrac5{2\times3}+\dfrac{11}{3\times4}+\dfrac{19}{4\times5}+\cdots+\dfrac{89}{9\times10}\right)$

Bài 16 (*): Tính giá trị

$M=\dfrac{10}{56}+\dfrac{10}{140}+\dfrac{10}{260}+\cdots+\dfrac{10}{1400}$

Bài 17 (*): Tính giá trị

$S=\dfrac15+\dfrac1{20}+\dfrac1{44}+\dfrac1{77}+\dfrac1{119}+\dfrac1{170}$

Bài 18: Tính giá trị

$A=\dfrac1{1+2}+\dfrac1{1+2+3}+\dfrac1{1+2+3+4}+\cdots+\dfrac1{1+2+3+\cdots+99}$

Bài 19 (*): Tính giá trị

$S=\dfrac{2+3}{1+2+3}+\dfrac{2+3+4}{1+2+3+4}+\cdots+\dfrac{2+3+\cdots+2013+2014}{1+2+3+\cdots+2013+2014}$

Bài 20: Tính giá trị

$A=\dfrac72+\dfrac76+\dfrac7{12}+\dfrac7{20}+\dfrac7{30}+\dfrac7{42}+\dfrac7{56}+\dfrac7{72}+\dfrac7{90}$

Bài 21 (*): Tính giá trị

$A=\dfrac3{1\times1\times2\times2}+\dfrac5{2\times2\times3\times3}+\dfrac7{3\times3\times4\times4}+\cdots+\dfrac{19}{9\times9\times10\times10}$

Bài 22 (**): Tính giá trị

$A=1-\dfrac{11}{6}+\dfrac{19}{12}-\dfrac{29}{20}+\dfrac{41}{30}-\dfrac{55}{42}+\dfrac{71}{56}-\dfrac{89}{72}+\dfrac{109}{90}$

Chia sẻ:

Phân số – Các phép tính với phân số

Chủ đề: Phân số – Các phép tính với phân số

Tuyển tập Đề thi Vào Lớp 6 Chất Lượng Cao

Để lại một bình luận Hủy