Hệ thống bài tập

Dạng toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

I. Lý thuyết

Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều, ta thường thực hiện theo hai bước sau:

Ký hiệu:

$\mathrm{SL}$ : số lớn nhất.
$\mathrm{SB}$ : số bé nhất.
$\mathrm{SSH}$ : số số hạng.
$\mathrm{KC}$ : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp.
$S$ : tổng của dãy số.

Bước 1. Tính số số hạng có trong dãy:

$\mathrm{SSH}=\frac{\mathrm{SL}-\mathrm{SB}}{\mathrm{KC}}+1$

Bước 2. Tính tổng của dãy:

$S=\frac{(\mathrm{SL}+\mathrm{SB})\times\mathrm{SSH}}{2}$

Kiến thức nâng cao

$\mathrm{SL}=(\mathrm{SSH}-1)\times\mathrm{KC}+\mathrm{SB}$

$\mathrm{SB}=\mathrm{SL}-(\mathrm{SSH}-1)\times\mathrm{KC}$

$\mathrm{SL}-\mathrm{SB}=(\mathrm{SSH}-1)\times\mathrm{KC}$

$\mathrm{SL}+\mathrm{SB}=\frac{2S}{\mathrm{SSH}}$

$A_n=\mathrm{SB}+(n-1)\times\mathrm{KC}$

Ví dụ minh họa

Ví dụ 2. Tính giá trị của $A$

$A=1+2+3+4+\cdots+2014$

Phân tích – Bài giải

Ví dụ 3. Cho dãy số $2; 4; 6; 8; 10; 12; \ldots$

Tìm số hạng thứ $2014$ của dãy số trên.

Phân tích – Bài giải

Ví dụ 4. Tính tổng $50$ số lẻ liên tiếp, biết số lẻ lớn nhất trong dãy là $2013$

Phân tích – Bài giải

Ví dụ 5. Bài toán số nhà

Một dãy phố có $15$ nhà. Số nhà của $15$ nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của $15$ số nhà của dãy phố đó bằng $915$ . Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào?

Phân tích – Bài giải

II. Thực hành

Bài 1. Cho dãy số $1; 4; 7; 10; \ldots; 2014$

a) Tính tổng của dãy số trên.

b) Tìm số hạng thứ $99$ của dãy số.

c) Số $1995$ có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

Bài 2. Tìm trung bình cộng của các số chẵn có $3$ chữ số

Bài 3. Tính tổng $60$ số chẵn liên tiếp, biết số chẵn lớn nhất trong dãy là $2010$

Bài 4. Tính tổng $2014$ số lẻ liên tiếp bắt đầu bằng số $1$

Bài 5. Tính tổng

$1+5+9+13+\cdots$

Biết tổng trên có $100$ số hạng.

Bài 6. Bài toán số nhà

Một dãy phố có $20$ nhà. Số nhà của $20$ nhà đó được đánh là các số chẵn liên tiếp, biết tổng của $20$ số nhà của dãy phố đó bằng $2000$ . Hãy cho biết số nhà cuối cùng trong dãy phố đó là số nào?

Bài 7. Tính tổng

a) $6+8+10+\cdots+1999$ .

b) $11+13+15+\cdots+147+150$ .

c) $3+6+9+\cdots+147+150$ .

Bài 8. Viết $80$ số chẵn liên tiếp bắt đầu từ $72$ . Số cuối cùng là số nào?

Bài 9. Có bao nhiêu số?

a) Có $3$ chữ số, khi chia cho $5$ dư $1$ .

b) Có $4$ chữ số, chia hết cho $3$ .

c) Có $3$ chữ số, nhỏ hơn $500$ và chia hết cho $4$ .

Bài 10. Đánh số nhà trên một đường phố

Khi đánh số thứ tự các dãy nhà trên một đường phố, người ta dùng các số lẻ liên tiếp $1, 3, 5, 7, \ldots$ để đánh số dãy nhà thứ nhất và các số chẵn liên tiếp $2, 4, 6, 8, \ldots$ để đánh số dãy nhà thứ hai. Hỏi nhà cuối cùng trong dãy chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu khi đánh số dãy này người ta đã dùng hết tất cả $769$ chữ số?

Bài 11. Cho dãy các số chẵn liên tiếp $2, 4, 6, 8, \ldots$

Hỏi số $1996$ là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm.

Bài 12. Tìm tổng của

a) Các số có hai chữ số chia hết cho $3$ .

b) Các số có hai chữ số chia cho $4$ dư $1$ .

c) $100$ số chẵn đầu tiên.

d) $10$ số lẻ khác nhau lớn hơn $20$ và nhỏ hơn $40$ .

Bài 13. Tính nhanh

a) $5+10+15+\cdots+2015$ .

b) $1+2+3+6+9+12+\cdots+96+99+102$ .

c) $1-2+3-4+5-6+\cdots-48+49-50+51$ .

d) $1{,}02+2{,}03+3{,}04+\cdots+9{,}10$ .

e) $10{,}11+11{,}12+12{,}13+\cdots+98{,}99+99{,}100$ .

(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4, 5)

Bài 14. Tìm $x$

a) $(x+1)+(x+2)+(x+3)+\cdots+(x+99)=90387$ .

b) $(1+4+7+\cdots+100)\div x=17$ .

c) $1+2+3+\cdots+x=\overline{aaa}$ .

(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4, 5)

Bài 15. Cho dãy số $1; 4; 7; \ldots; 2017$

a) Tính tổng của dãy số trên.

b) Tìm số hạng thứ $99$ của dãy số.

c) Số $1995$ có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

(Đề cương bồi dưỡng học sinh có năng khiếu khối 4, 5)

Bài 16. Tìm trung bình cộng của các số lẻ có $3$ chữ số

(Violympic lớp 4)

Bài 17. Tính tổng các số có $4$ chữ số chia hết cho cả $3$ và $5$

(Violympic lớp 4)

Bài 18. Bài toán số nhà

Một dãy phố có $25$ nhà. Số nhà của $25$ nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của $25$ số nhà của dãy phố đó bằng $1400$ . Hãy cho biết số nhà đầu tiên và số nhà cuối cùng của dãy phố đó là số nào?

(Violympic lớp 5)

Bài 19. Tính tổng $60$ số chẵn liên tiếp, biết số chẵn lớn nhất trong dãy là $2018$

(Violympic lớp 5)

Bài 20. Cho tổng

$A=0+5+10+15+\cdots+x$

Tìm $x$ , biết tổng $A$ có $99$ số hạng.

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 21. Cho tổng

$B=0{,}3+1{,}3+2{,}3+3{,}3+\cdots+y$

Tìm $y$ , biết tổng $B$ có $55$ số hạng.

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 22. Cho dãy số $0; 1; 2; 3; 4; \ldots; 2018$

Dãy số trên có tất cả bao nhiêu chữ số?

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 23. Đánh số trang sách

Một cuốn sách có $200$ trang. Hỏi người ta phải dùng tất cả bao nhiêu chữ số để đánh số trang của cuốn sách đó?

(Bồi dưỡng Toán 5)

Bài 24. Cho dãy số $1; 2; 3; \ldots; x$

a) Chữ số thứ $2018$ được dùng để viết dãy số trên là chữ số nào?

b) Tìm $x$ để số chữ số của dãy gấp $4{,}5$ lần $x$ .

(Bài trên trang web Câu lạc bộ Toán Tiểu học Lộc Hà)

Bài 25. Tích sau có tận cùng là chữ số nào?

$0{,}9\times1{,}9\times2{,}9\times3{,}9\times\cdots\times17{,}9\times18{,}9$

(Bài trên trang web Câu lạc bộ Toán Tiểu học Lộc Hà)

Bài 26. Cho dãy số tự nhiên $19; 28; 37; 46; \ldots$

a) Tìm số thứ $1997$ của dãy.

b) Số $19971998$ , $19981999$ có mặt trong dãy số đó không? Vì sao?

(Đề thi HSG quận Hai Bà Trưng – Hà Nội – Năm học 1996–1997)

Bài 27: Tìm trung bình cộng của $22$ số lẻ đầu tiên?

(Đề thi HSG quận Hai Bà Trưng – Hà Nội – Năm học 1997–1998)

Bài 28. Tính nhanh

$1011+1112+1213+1314+\cdots+9899+99100$

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương – Năm học 1997–1998)

Bài 29. Tính nhanh

$1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12+\cdots+301+302$

(Đề thi HSG tỉnh Hải Dương – Năm học 1998–1999)

Bài 30. Cho dãy số $14; 16; 18; \ldots; 94; 96; 98$

a) Tính tổng giá trị của dãy số trên.

b) Tìm số có giá trị lớn hơn trung bình cộng của dãy số là $8$ . Cho biết số đó là số thứ bao nhiêu của dãy số trên?

(Đề thi HSG huyện Đông Sơn – tỉnh Thanh Hóa – Năm học 1998–1999)

Bài 31. Cho dãy số $36; 45; 54; \ldots$

a) Hãy viết thêm $3$ số thích hợp vào dãy số trên.

b) Số thứ $20$ của dãy số trên là số nào?

c) Số $3469$ có thuộc dãy số trên không? Vì sao?

(Đề thi HSG huyện Đông Sơn – tỉnh Thanh Hóa – Năm học 1999–2000)

Bài 32. Tính nhanh

$17{,}75+16{,}25+14{,}75+13{,}25+\cdots+4{,}25+2{,}75+1{,}25$

(Đề thi HSG huyện Thanh Oai – Hà Tây – Năm học 1995–1996)

Bài 33. Cho dãy số $3; 7; 11; 15; \ldots; 79$

a) Dãy số có bao nhiêu số hạng?

b) Tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn điều kiện:

$(n+3)+(n+7)+(n+11)+(n+15)+\cdots+(n+79)=860$

(Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên Toán Trường THCS Thị xã Hải Dương – Năm học 1995–1996)

Bài 34. Cho dãy số $4; 6; 8; 10; \ldots; 1910$

a) Hãy tính số chữ số của dãy.

b) Hãy tìm chữ số thứ $1996$ của dãy.

(Đề thi tuyển sinh vào lớp chuyên Toán Trường THCS Nguyễn Trường Tộ – Năm học 1996–1997)

Bài 35. Người ta viết liền nhau các số tự nhiên: $123456\ldots$

a) Hỏi chữ số hàng đơn vị của số $1998$ đứng ở hàng thứ mấy?

b) Chữ số viết ở hàng thứ $429$ là chữ số nào?

(Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh – Năm học 1997–1998)

Bài 36. Cho dãy số $1; 7; 13; 19; 25; \ldots$

Hãy cho biết các số sau đây có thuộc dãy số đã cho hay không? Tại sao?

$351;\quad 400;\quad 570;\quad 686;\quad 1075$

Dãy số cách đều

Hệ thống bài tập

Dạng toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

Phân số – Các phép tính với phân số

Để lại một bình luận Hủy

Dãy số cách đều

Hệ thống bài tập

Dạng toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều

Kiến thức nâng cao

Ví dụ minh họa

Phân số – Các phép tính với phân số

Để lại một bình luận Hủy

Bài viết liên quan

Các bài toán thực tế kết hợp Bất đẳng thức – Câu chặn điểm 10 trong các bài kiểm tra, kỳ thi

Tỉ lệ thức – Tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Chuyên đề Nâng cao Toán 6 – Phân số

13 chuyên đề nâng cao Toán 6